Proporção áurea

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A proporção áurea ou número de ouro é uma constante irracional, cujo valor aproximado (1,61803398875) é representado pela letra grega φ (phi), porém apenas essa explicação não nos mostra toda a beleza, literalmente, que tem por trás deste número. Vamos começar falando sobre como foi descoberto este número e depois veremos tudo o que ele representa para a Matemática e para a natureza como um todo.

Tal proporção foi descoberta já na Grécia antiga, mas foi só em 1202 que o matemático Leonardo Fibonacci (1170-1250) apresentou em um livro a famosa Sequência de Fibonacci, que funciona da seguinte maneira: para todo n da sequência, an = a n-1 +an-2 sendo n natural. Até aqui temos uma sequência de números interessante, todavia percebeu-se que o quociente entre dois números da sequência a n+1 e an resultava em um número próximo da proporção áurea, onde à medida que se aumentava os valores dos números presentes no quociente, mais próximo ficava do número de ouro!

Esta descoberta deu um significado maior para o número de ouro, pois agora podia relacioná-lo com a geometria. Por exemplo, a sequência de Fibonacci se relaciona com espirais (espirais estão presentes em conchas e cascos de caramujos) e estas são compostas por quadrados e suas arestas são proporcionais aos números da sequência.

Como se a relação sequência de Fibonacci e proporção áurea já não fosse uma coincidência muito grande, é possível encontrar na natureza frequentemente o número de ouro, seja em espirais de conchas como já foi falado ou nas espirais de galáxias, entre outros vários exemplos. Nós seres humanos também fazemos parte da natureza e não ficamos de fora, pois diversas medidas no nosso corpo têm a proporção áurea. Como exemplo pegue a sua altura e faça uma divisão pela altura do seu umbigo até o chão: incrivelmente o resultado será aproximadamente... a proporção áurea!

(GEOMETRIA, PROPORÇÃO ÁUREA E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI)

Sem contar que esta proporção é frequentemente relacionada com padrões estéticos, como por exemplo se pegarmos uma pessoa considerada bonita ela terá suas medidas muito próximas do número de ouro. E sabendo disso os humanos também implementaram essas medidas em diversas outras criações, por exemplo as dimensões do papel ofício tamanho A4, que tem as estranhas dimensões de 297cm x 210 cm, que se aproximam um pouco da proporção áurea, mas a razão entre as medidas é um pouco diferente. As dimensões do A4 permitem duplicar ou dobrar as folhas para se obter as mesmas proporções nos tamanhos maiores A3, A2, A1 e A0, e A5, A6 e A7, sendo este último o cartão de visita. Aos olhos do ser humano, esta pequena diferença do A4 e a proporção áurea é indistinguível, o que torna a imagem de um A4 agradável. Não parando por aí, o número de ouro é usado também em obras de artes e construções com o objetivo de torná-las mais grandiosas, onde podemos citar os seguintes casos em que foi usado: quadros da Monalisa e Homem Vitruviano de Da Vinci, construção do Parthenon, catedral gótica de Notre Dame entre outros...

Referência: Livro sequência de Fibonacci e o número de ouro de Mauricio Zahn.

Perguntas e respostas:

  1. Como estes padrões aparecem na natureza?

Resposta: Isso é um grande mistério da natureza, a única coisa que sabemos é que este padrão está lá...

2. Existe uma representação exata para o número de ouro?

R: Não existe pelo fato de ele ser um número irracional, é impossível saber todas as suas casas decimais.

Autoria: Sousa, D.; Festa, M.; Bassini, A. (2020) Proporção áurea.

Créditos detalhados

Autores:

Djeferson Pereira de Sousa

Mario Festa

Ailton Marcos Bassini (bassini@usp.br)

Apoio técnico:

Luca Hermes Pusceddu